[TOC]
# 滤波器总结
**滤波器的表征**
- 差分方程：$\displaystyle y(n)=\sum_{k=0}^M b_k x(n-k)-\sum_{k=1}^N a_k y(n-k)$.
- 系统函数：
$$
\begin{cases}
\displaystyle H(z)=\frac{\sum_{k=0}^M b_k z^{-k}}{1+\sum_{k=1}^N a_k z^{-k}}& 有递归结构,\mathrm{IIR}\\
H(z)=\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k} & 无递归结构,\mathrm{FIR}
\end{cases}
$$
IIR 有零点和极点，FIR 只有零点。
- 实现方式：加、乘、延时单元。
## 1. 滤波器结构
我们研究不同结构在下列指标上的表现：
- 计算复杂性：指乘法、加法、延时次数；
- 存储量；
- 运算误差（量化误差）。
- 频率响应调节的方便程度（调节零点和极点）
### 1.1 IIR 滤波器结构
全极点型/零极点型。
- **直接 I 型**，需要 $N+M$ 个延时单元。
- **直接 II 型（典范型）**，需要 $N$ 个延时单元。
- 延迟单元最少；
- 系数对滤波器的极点和零点的控制作用不明显，因而调整频率响应比较困难；
- 乘法运算的量化误差较大。
- **级联型结构**，分解为一阶、二阶基本节，注意提取常数 $G$.
$$
H(z)=G\prod_{k} H_k(z)
$$
$$
H_k(z)=\frac{1+\beta_{1k}z^{-1}}{1+\alpha_{1k}z^{-1}}\\H_k(z)=\frac{1+\beta_{1k}z^{-1}+\beta_{2k}z^{-2}}{1+\alpha_{1k}z^{-1}+\alpha_{2k}z^{-2}}
$$
- 调整零、极点方便直观；
- 对系数量化的敏感度比直接型结构低；
- 量化误差、运算误差逐级累计。
- **并联型结构**，使用分式展开，展开为
$$
H(z)=\sum_{k=1}^K H_k(z)+\sum_{k=0}^{M-N} C_k z^{-k}
$$
$$
H_k(z)=\frac{B_{0k}+B_{1k}z^{-1}}{1+A_{1k}z^{-1}+A_{2k}z^{-2}}
$$
- 调整极点方便，但是调整零点不方便；
- 对系数量化误差的敏感度低；
- 量化误差不会累计；
- **转置型结构**，所有支路方向翻转，但支路增益不变，输入输出交换位置。
> 证明：
> $$
> \frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^M b_k z^{-k}}{1+\sum_{k=1}^N a_k z^{-k}}
> $$
>
> $$
> \frac{X(z)}{Y(z)}=\frac{1+\sum_{k=1}^N a_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^M b_k z^{-k}}
> $$
### 1.2 FIR 滤波器结构
- **直接型(横截型、卷积型)结构** 系统参数是单位冲激响应序列。
$$
\begin{aligned}
y(n)&= \sum_{k=0}^M b_k x(n-k)\\
&=\sum_{m=0}^{N-1} \underbrace{b_m}_{h(m)} x(n-m)
\end{aligned}
$$
- **级联型结构**
$$
H(z)=\sum_{k=0}^M b_k z^{-k} = \prod_{k=1}^k (\beta_{0k}+\beta_{1k}z^{-1}+\beta_{2k}z^{-2})
$$
- **频率抽样型结构**
$$
H(z)=\frac{1-z^{-N}}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{H(e^{j\frac{2\pi}{N}k})}{1-e^{j\frac{2\pi}{N}k}z^{-1}}
$$
可以看成一个 FIR 系统级联一个 $N$ 个 IIR 子网络并联形成的 IIR 系统。
- **快速卷积结构** 是直接型结构的快速型实现。
- **线性相位 FIR 滤波器结构**
分奇偶对称性讨论，当单位抽样响应 $h(n),0\le n\le N-1$ 为实数且满足
- 偶对称性：$h(n)=h(N-1-n),0\le n\le N-1$ 或者；
- 奇对称性：$h(n)=-h(N-1-n),0\le n\le N-1$.
则系统频率响应是严格线性的。线性相位条件：$\arg [H(e^{j\omega})]=\alpha \omega$. 相位函数：$H(\omega)=\alpha\omega+\omega_0$.
分长度 $N$ 奇偶性讨论， 具有不同的实现方式，可以减少一半乘法次数。
### 1.3 数字滤波器频率响应
> 当输入复指数序列 $x(n)=e^{j\omega n}$，则有：
> $$
> \begin{aligned}
> y(n)&=\sum_{m=-\infin}^{+\infin} h(m) x(n-m)\\
> &=\sum_{m=-\infin}^{+\infin} h(m) e^{j\omega(n-m)}\\
> &=e^{j\omega n}\sum_{n=-\infin}^{+\infin} h(m) e^{-j\omega n}\\
> &= e^{j\omega n} H(e^{j\omega})=x(n)H(e^{j\omega})
> \end{aligned}
> $$
> 因此称复指数序列 $e^{j\omega n}$ 是系统的特征序列。
$$
H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})| e^{j\beta(e^{j\omega})}
$$
**几何确定法**
- 幅度响应 $\displaystyle |H(e^{j\omega})|=|K|\frac{\prod \rho_m}{\prod l_k}$. 其中 $\rho_m$ 为零矢，$l_k$ 为极矢。
- 相位响应 $\arg [H(e^{j\omega})]=\arg K+\sum \theta_m-\sum\phi_k +(N-M)\omega$.
**群延迟响应**
$$
\tau(e^{j\omega})=-\frac{\mathrm d }{\mathrm d \omega} \beta(e^{j\omega})
$$
### 1.4 全通滤波器
全通滤波器的定义：系统频率响应的幅度在所有的频率 $\omega$ 处皆为 1（或为常数）的稳定系统。
$$
|H_{ap}(e^{j\omega})|=C
$$
1 阶全通滤波器（要求 $a$ 为实数，且极点 $z=a$ 在单位圆内）
$$
H_{ap}(z)=K\frac{z^{-1}-a}{1-az^{-1}}
$$
2 阶全通滤波器（要求极点 $a,a^*$ 在单位圆内，即 $a=re^{j\theta},0为了保证滤波器稳定，极点在单位圆内，零点在单位圆外；
- 以单位圆镜像分布，即极点 $a$ 推出零点 $(a^*)^{-1}$.
**系数特点**：
- 各系数均为实数（为了满足 $d_k=d_k^*$ 即共轭对称关系）；
- 分子、分母各系数相同但排序相反。
**相频特性**：
$$
\frac{\mathrm d \beta_{ap}(\omega)}{\mathrm d \omega}<0
$$
因为 $\beta_{ap}(0)=0$，结合上述结论可得 $\beta_{ap}(\omega)<0,0\le \omega \le \pi$.
同时可得全通系统的群延迟 $\displaystyle \tau_{ap}(\omega)=-\frac{\mathrm d \beta_{ap}(\omega)}{\mathrm d \omega}$ 为正。
### 1.5 最小相位系统
> 看零点来辨别。如果系统有极点在单位圆外，则不是三种系统。
为了保证稳定，最小相位系统、最大相位系统、混合相位系统的极点都在单位圆内。
**最小相位系统 $\boldsymbol{H_{\min}(z)}$** 系统函数全部零点在单位圆内的因果稳定滤波器；最小相位系统的逆系统也是最小相位系统，因为只是调换了零点极点。
**最大相位系统 $\boldsymbol{H_{\max}(z)}$** 系统函数全部零点在单位圆外的因果稳定滤波器；
**混合相位系统 $\boldsymbol{H_{\operatorname{mix}}(z)}$** 系统函数在单位圆内外均有零点的因果稳定滤波器；
**三种系统的关系**：通过串联全通系统转换。
这一系列的最小相位系统、混合相位系统、最大相位系统的幅值响应相同，而相角响应依次滞后。
- **最小相位滞后性**：因为新串联全通系统，相当于减小相位 $\beta(\omega)$，因此：
$$
\beta_{\min}(\omega)>\beta_{\operatorname{mix}}(\omega)>\beta_{\max}(\omega)
$$
- **最小群延时性**：同理，
$$
\tau_{\min}(\omega)<\tau_{\operatorname{mix}}(\omega)<\tau_{\max}(\omega)
$$
- **最小能量延迟性**：
局部能量越大，能量延迟越小，局部能量定义为
$$
E(n_0)=\sum_{n=0}^{n_0 }h^2(n)
$$
因为最小相位系统的延迟最小，所以局部能量最大。
$$
\sum_{n=0}^{n_0 }|h_{\min}(n)|^2>\sum_{n=0}^{n_0 }|h_{\operatorname{mix}}(n)|^2>\sum_{n=0}^{n_0 }|h_{\max}(n)|^2
$$
特别地，$|h_{\min}(0)|>|h_{\mathrm{mix}} (0)|>|h_{\max}(0)|$.
**利用最小相位系统的逆系统补偿失真**
对于系统 $H(z)$，希望其幅度响应为 1，设计 $H_c(z)$ 进行补偿。
- 当 $H(z)$ 是最小相位系统，
$$
H_c(z)=\frac{1}{H(z)}
$$
可以完全补偿幅度响应和相位响应。
- 当 $H(z)$ 不是最小相位系统，可以分解为 $H_{\min}(z)H_{ap}(z)$.
$$
H_c(z)=\frac{1}{H_{\min}(z)}
$$
可以完全补偿幅度响应，但是无法完全补偿相位响应。
> 例如将系统
> $$
> H(z)=\frac{6(4z^{-1}-1)(z^{-1}-5)}{(z^{-1}-2)(z^{-1}-3)}
> $$
> 分解为 $H_{\min}(z)H_{ap}(z)$.
>
> 其极点分别为 $\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{3}$ 位于单位圆内，其零点分别为 $\displaystyle \frac{1}{5},4$，设计全通滤波器抵消零点 $z=4$，即
> $$
> H_{ap}(z)=\frac{4z^{-1}-1}{z^{-1}-4}
> $$
>
> $$
> H_{\min}=\frac{6(z^{-1}-4)(z^{-1}-5)}{(z^{-1}-2)(z^{-1}-3)}
> $$
### 1.6 梳状滤波器
**梳状滤波器结构 (FIR)**
$$
H(z)=1-z^{-N}
$$
保留需要的频率为 $\displaystyle \frac{(2k+1)\pi}{N}$ 信号，滤除其它频率信号。
对梳状滤波器的改进：**梳状陷波器 (IIR)**
$$
\displaystyle H(z)=\frac{1-z^{-N}}{1-(r^{-1}z)^N}\quad r\approx 1
$$
考虑当输入信号频率为 $\displaystyle \frac{2\pi}{N}$，此时和一个零点重合，输出为零。
当输入信号频率为 $\displaystyle\frac{2\pi}{N}+\beta$，其中 $\beta$ 很小，则可以看成一个双 $90^\circ$ 的等腰三角形，得到 $AZ_1P_1$ 是一个等腰直角三角形，输出幅度：
$$
A\left(\frac{2\pi}{N}+\beta\right)=\frac{AZ_1\cdot AZ_2}{AP_1\cdot AP_2}
$$
其中 $AZ_2\approx AP_2$，$AZ_1=\beta,AP_1=\sqrt{2}\beta$，因此输出 $1/\sqrt{2}$. 比修正之前性能好，可以精确地滤除频率为 $2k\pi/N$ 的信号.
## 2. IIR 滤波器设计
### 2.1 理想滤波器频谱图
### 2.2 滤波器指标
- $\omega_p$：通带截止数字频率，通带内 $1-\delta_1 \le |H(e^{j\omega})|\le 1$
- $\omega_{st}$：阻带截止数字频率，阻带内 $|H(e^{j\omega})|\le \delta_2$.
- $R_p$：通带允许的最大衰减 $=-20\lg (1-\delta_1)$
- $A_{st}$：阻带允许的最小衰减 $=-20\lg(\delta_2)$
### 2.3 模拟巴特沃斯低通滤波器
$$
|H_a(j\Omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\Omega}{\Omega_c}\right)^{2N}}}
$$
- $N$：滤波器阶数；
- $\Omega_c$：3dB 频率。
选取截止频率为 $\Omega_c=0.5\pi$，绘图如下：
- $\Omega=0$ 时，$|H_a(j0)|=1$ 无衰减
- $\Omega=\Omega_c$ 时，$|H_a(j\Omega_c)|=1/\sqrt{2}$，对应 $R_c=3\mathrm{~dB}$ 通带最大衰减。因为对于不同的 $N$，$R_c$ 不变，因此有 3dB 不变性。
- 通带 $0\le \Omega \le \Omega_c$ 内，最平幅度特性。因为 $|H_a(j\Omega_c)|^2$ 在 $\Omega=0$ 处的前 $2N-1$ 阶导数为零。
**归一化的巴特沃斯滤波器**
$$
|H_{an}(j\Omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\Omega^{2N}}}
$$
一般可以通过查表法来获取归一化巴特沃斯滤波器的系统函数，然后 去归一化：
$$
H_a(s)=H_{an}\left(\frac{s}{\Omega_c}\right)
$$
**$\boldsymbol{N,\Omega_c}$ 参数设计**
首先，根据图像定性分析：
- $N$ 越大，滤波器越接近理想滤波器；但是 $N$ 越大，滤波器越难以实现；
- 因此，我们需要首先找出最小符合要求的 $N$，然后根据 $N$ 来选择 $\Omega_c$.
定义：
- $\Omega_p$：通带截止频率
- $\Omega_{st}$：阻带截止频率
根据图中关系，可以算出：
- $R_p\ge-20\lg |H_a(j\Omega_p)|$ 通带衰减最大值
- $A_{st}\le -20\lg |H_a(j\Omega_{st})|$ 阻带衰减最小值
重写表达式为：
$$
-20\lg |H_a(j\Omega_p)|=\underbrace{10 \lg \left(1+\left(\frac{\Omega_p}{\Omega_c}\right)^{2N}\right)\le R_p}_{\Rightarrow (\Omega_p/\Omega_c)^{2N}\le 10^{0.1R_p}-1}\\
-20\lg |H_a(j\Omega_p)|=\underbrace{10 \lg \left(1+\left(\frac{\Omega_{st}}{\Omega_c}\right)^{2N}\right)\ge A_s}_{\Rightarrow(\Omega_{st}/\Omega_c)^{2N}\ge 10^{0.1A_s}-1}
$$
即：
$$
\frac{10^{0.1A_s}-1}{10^{0.1R_p}-1}\le \left(\frac{\Omega_{st}}{\Omega_p}\right)^{2N}
$$
因此
$$
\boxed{N\ge \lg \left.\left(\frac{10^{0.1A_s}-1}{10^{0.1R_p}-1}\right)\right/2\lg (\Omega_{st}/\Omega_p)}
$$
为了确定 $\Omega_c$，我们可以利用不等式：
$$
(\Omega_{st}/\Omega_c)^{2N}\le 10^{0.1R_p}-1\Rightarrow \Omega_c \ge \underbrace{\boxed{\Omega_{p}/\sqrt[2N]{10^{0.1R_p}-1}}}_{\doteq\Omega_{cp}}
$$
一般取 $\Omega_{c}=\Omega_{cp}$.
> 到这一步我们就可以 设计模拟低通滤波器，其步骤为：
>
> 1. 确定指标 $\Omega_{s},\Omega_{p},A_s,R_p$;
> 2. 根据指标确定巴特沃斯滤波器参数 $N,\Omega_{c}$;
> 3. 根据滤波器阶数确定归一化巴特沃斯滤波器的系统函数;
> 4. 去归一化.
### 2.4 频带转换
**频带变换** 可以将 归一化模拟低通滤波器（$\overline{\Omega_p}=1$）转换为 模拟低通、高通、带通、带阻滤波器。
**频带变换的实现**：设计变换函数 $G$，满足：
$$
H_{an}(\overline{s}) \overset{\overline{s}=G(s)}{\operatorname*{\longleftrightarrow}}H_a(s)\\
H_{an}(j\overline{\Omega}) \overset{j\overline{\Omega}=G(j\Omega)}{\operatorname*{\longleftrightarrow}}H_a(j\Omega)\\
$$
**频带变换函数** 要求：
- $G$ 函数是有理函数；
- 变换不能改变稳定性；需要满足纯虚数条件，映射虚轴到虚轴，即 $G(虚数)=虚数$.
令带宽和中心频率表示为
- $B_p=\Omega_{p1}-\Omega_{p2}$，$\Omega_{p0}=\sqrt{\Omega_{p1}\Omega_{p2}}$.
- $B_{s}=\Omega_{st1}-\Omega_{st2}$，$\Omega_{st0}=\sqrt{\Omega_{st1}\Omega_{st2}}$.
| 类型 | $s$ 变换 | $\Omega$ 变换 |
| ------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| 截止频率 $\Omega_p$ 低通 | $\displaystyle \overline{s}=\frac{s}{\Omega_p}$ | $\displaystyle \overline \Omega= \frac{\Omega}{\Omega_p}$ |
| 截止频率 $\Omega_p$ 低通 | $\displaystyle \overline s=\frac{\Omega_p}{s}$ | $\displaystyle \overline{\Omega}=-\frac{\Omega_p}{\Omega}$ |
| $\Omega_{p1}\sim \Omega_{p1}$ 带通 | $\displaystyle \overline{s}=\frac{s^2+\Omega_{p0}^2}{B_p s}$ | $\displaystyle\overline{\Omega}=\frac{\Omega^2-\Omega_{p0}^2}{B_{p}\Omega}$ |
| $\Omega_{st1}\sim \Omega_{st2}$ 带阻 | $\displaystyle \overline{s}=\frac{\overline{\Omega}_{st}B_{s}s}{s^2+\Omega_{st0}^2}$ | $\displaystyle \overline{\Omega}=\frac{\overline{\Omega}_{st}B_{s}\Omega}{\Omega_{st0}^2-\Omega^2}$ |
**带通滤波器 $\boldsymbol{\overline\Omega_{st}}$ 的确定**
因为带通滤波器的 $\Omega_{p1},\Omega_{p2}$ 均可以映射到 $\overline{\Omega}_p=1$，所以只需确定 ${\overline\Omega_{st}}$ 即可。
计算对应的 $\overline{\Omega}_{st1,2}$ 如下：
$$
\overline{\Omega}_{st1}=G(\Omega_{st1}),\overline{\Omega}_{st2}=G(\Omega_{st2})
$$
然后 $\overline{\Omega}_{st}$ 取 $\min\left\{\left|\overline{\Omega}_{st1}\right|,\left|\overline{\Omega}_{st2}\right|\right\}$.
注意点：
- 需要取绝对值，因为分别对应正的频率和负的频率；
- 当更小的阻带截止频率满足时，更大的阻带截止频率一定满足，所以取比较小的一个。
**带阻滤波器 $\boldsymbol{\overline{\Omega}_{st}}$ 的确定**
频带映射函数中存在未知数 $\overline{\Omega}_{st}$，可以通过带阻滤波器 $\Omega_{p1},\Omega_{p2}$ 映射到 $\overline{\Omega}_p=1$ 来确定 $\overline{\Omega}_{st}$.
$$
\overline{\Omega}_{p1}=G(\Omega_{p1}),\overline{\Omega}_{p2}=G(\Omega_{p2})
$$
$$
\overline{\Omega}_p={\color{red}\max}\left\{\left|\overline{\Omega}_{p1}\right|,\left|\overline{\Omega}_{p2}\right|\right\}=1=\frac{1}{\overline{\Omega}_{st}}\overline{\Omega}_{st}
$$
> 到这里我们可以 设计模拟高通/带通/带阻滤波器，步骤如下：
>
> 1. 确定模拟指标；
> 2. 确定归一化低通滤波器所需满足的指标 $\overline{\Omega}_p,\overline{\Omega}_{st}$.
>
> 高通：直接利用公式 $\displaystyle \overline{\Omega}=-\frac{\Omega_p}{\Omega}$；带通：参上；带阻：参上.
> 3. 根据指标 $\overline{\Omega}_p,\overline{\Omega}_{st}$ 确定原型巴特沃斯滤波器参数 $N,\overline \Omega_{c}$;
> 4. 通过查表法确定 $H_{an}(\overline s)$;
> 5. 去归一化 $H_a(\overline{s})=H_{an}(\overline{s}/\overline{\Omega_c})$;
> 6. 通过变换函数进行频带变换.
### 2.5 模数映射
模数映射：从 $s$ 域映射到 $z$ 域，牵扯到抽样时间 $T$.
- 冲激不变法：单位冲激响应 $h_a(t)\Rightarrow h(n)$;
- 双线性法：系统函数 $H(s)\Rightarrow H(z)$.
映射要求：
- $s$ 域虚轴映射到 $z$ 域单位圆；
- $s$ 域虚轴左边映射到 $z$ 域单位圆内部；
- $s$ 域虚轴右边映射到 $z$ 域单位圆外部。
#### 2.5.1 冲激不变法
$$
H_a(s)=\sum_{k=1}^N \frac{A_k T}{s-s_k}\Rightarrow H(z)=\sum_{k=1}^N \frac{A_k T}{1-e^{s_k T}z^{-1}}
$$
由极点关系可以推出 $s,z$ 关系：$z=e^{sT}$;
由采样的关系可以推出频率关系：$\omega=\Omega T$（模拟频率和数字频率是线性的关系）
- 存在 混叠失真问题，因为 $s$ 平面和 $z$ 平面并非一一对应，极点对应，而零点不对应。
- 模拟滤波器的频率响应带限于 $\displaystyle \frac{\Omega_s}{2}=\frac{\pi}{T}$ 内，无混叠失真。
- 不能用于高通滤波器和带阻滤波器，因为高频段会混叠到 $[-\pi/T,\pi/T]$ 低频段。反之设计低通滤波器和带阻滤波器，需要保证 $T$ 足够小，高频段混叠的影响很小。
#### 2.5.2 双线性变换法
使用 $\displaystyle \Omega=\tan \left(\frac{\Omega_1 T}{2}\right)$ 将整个 $\sigma+j\Omega$ 平面映射到 $\sigma+j\Omega_1$ 平面，其中 $\Omega_1$ 取值 $-\pi/T,\pi/T$.
$$
\boxed{s=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\quad \boxed{z=\frac{1+s}{1-s}}
$$
在低频段，有如下关系：
$$
\Omega=c\tan \left(\frac{\omega}{2}\right)\approx c\frac{\omega}{2}=\omega /T
$$
引入线性变换常数 $c=2/T$，则有如下关系：
$$
\boxed{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\quad \boxed{z=\frac{T/2+s}{T/2-s}}\quad \boxed{\Omega=\frac{2}{T}\tan \left(\frac{\omega}{2}\right)}
$$
因为幅频响应存在畸变，数字频率和模拟频率不是线性的关系，所以需要将数字指标 $\omega$ 变换为模拟指标 $\Omega$，才能设计滤波器。
> 到这里我们可以 设计数字高通/带通/带阻滤波器，步骤如下：
>
> 1. 通过 $\omega=\Omega T$ 确定对应的数字指标；
> 2. 再通过频率预畸 $\displaystyle \Omega'=\frac{2}{T}\tan \frac{\omega}{2}$ 变换成 低通模拟指标；
> 3. 确定归一化低通滤波器所需满足的指标 $\overline{\Omega}_p,\overline{\Omega}_{st}$.
> 4. 根据指标 $\overline{\Omega}_p,\overline{\Omega}_{st}$ 确定原型巴特沃斯滤波器参数 $N,\overline \Omega_{c}$;
> 5. 通过查表法确定 $H_{an}(\overline s)$;
> 6. 去归一化 $H_a(\overline{s})=H_{an}(\overline{s}/\overline{\Omega_c})$;
> 7. 通过变换函数进行频带变换.
> 8. 双线性变换法 $\displaystyle H(z)=H(s)|_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}$.
### 2.6 模数直接变换
之前需要两步：双线性变换法+频带变换，现在可以合并成一步，直接使用模数直接变换。
**模拟低通到数字低通**
- 变换关系：$\boxed{\displaystyle s=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}},z=\frac{1+s}{1-s}}$.
- 频率间关系：$\boxed{\Omega=\tan\left(\omega/2\right)}$.
- 通带截止频率间关系：$\Omega_p=\tan\left(\omega_p/2\right)$
**模拟低通到数字高通**
相当于 $z\gets -z$.
- 变换关系：$\boxed{\displaystyle s=\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}}$.
- 频率间关系：$\boxed{\Omega=\cot(\omega/2)}$.
- 截止频率关系：$\Omega_p=\cot(\omega_p/2)$.
**模拟低通到数字带通**
中心频率设为 $\omega_0$，希望原来 $\Omega=0$ 点映射到 $\omega_0$ 点，并且符合 $\omega_{p1},\omega_{p2}$ 的条件。
- 中心频率表达式：$\displaystyle \cos \omega_0 =\frac{\sin (\omega_{p2}+\omega_{p1})}{\sin \omega_{p2}+\sin \omega_{p1}}$.
- 变换关系：$\displaystyle \boxed{s=\frac{1-2z^{-1}\cos \omega_0+z^{-2}}{1-z^{-2}}}$.
- 频率间关系：$\boxed{\Omega=\frac{\cos \omega_0 -\cos \omega}{\sin \omega}}$.
- 截止频率间关系：
$$
\Omega_{p/st}=\frac{\cos \omega_0-\cos \omega_{p/st}}{\sin \omega_{p/st}}
$$
$\Omega_{p}$ 通过 $\omega_{p1},\omega_{p2}$ 算都是一样的，通过 $\omega_{st1},\omega_{st2}$ 计算 $\Omega_{st}$，取约束更强的，即绝对值更小的 $\Omega_{st}$。
**模拟低通到数字带阻**
- 中心频率表达式：$\displaystyle \cos \omega_0 =\frac{\sin (\omega_{st2}+\omega_{st1})}{\sin \omega_{st2}+\sin \omega_{st1}}$.
- 变换关系：$\displaystyle \boxed{s=\frac{1-z^{-2}}{1-2z^{-1}\cos \omega_0+z^{-2}}}$（取倒数）
- 频率间关系：$\boxed{\Omega=\frac{\sin \omega}{-\cos \omega_0 +\cos \omega}}$.
- 截止频率间关系：
$$
\Omega_{p/st}=\frac{\sin \omega_{p/st}}{-\cos \omega_0+\cos \omega_{p/st}}
$$
$\Omega_{st}$ 通过 $\omega_{st1},\omega_{st2}$ 算都是一样的，通过 $\omega_{p1},\omega_{p2}$ 计算 $\Omega_{p}$，取约束更强的，即绝对值更大的 $\Omega_{p}$。
> 到这里我们可以 更加快速地设计数字高通/带通/带阻滤波器，步骤如下：
>
> 1. 确定模拟指标；通过 $\omega=\Omega T$ 确定对应的数字指标.
> 2. 确定中心频率 $\omega$，进行频率预畸，直接将所需的数字指标变换到模拟指标，并且计算出 ${\Omega}_p,{\Omega}_{st}$.
> 3. 根据指标 ${\Omega}_p,{\Omega}_{st}$ 确定原型巴特沃斯滤波器参数 $N,\Omega_{c}$;
> 4. 通过查表法确定 $H_{an}(s)$;
> 5. 去归一化 $H_a({s})=H_{an}({s}/{\Omega_c})$;
> 6. 进行模数直接变换。
## 3. FIR 滤波器设计
### 3.1 线性相位 FIR 滤波器
当单位抽样响应 $h(n),0\le n\le N-1$ 为 实数 且满足
- 偶对称性：$h(n)=h(N-1-n),0\le n\le N-1$ 或者；
- 奇对称性：$h(n)=-h(N-1-n),0\le n\le N-1$.
则系统频率响应是严格线性的，也就是 $\arg H(e^{j\omega})=\alpha \omega$.
**偶对称线性相位证明**
代入 $h(n)=h(N-1-n),0\le n\le N-1$ 的条件，
$$
\begin{aligned}
H(z)&=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1} h(N-1-n) z^{-n}\\
&=z^{-(N-1)} \sum_{n=0}^{N-1}h(N-1-n)z^{N-1-n}\\
&=z^{-(N-1)} H(z^{-1})
\end{aligned}
$$
代入 $H(z)=z^{-(N-1)}H(z^{-1})$，可得
$$
\begin{aligned}
H(z)&=\frac{1}{2}\left(H(z)+z^{-(N-1)} H(z^{-1})\right)\\
&=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{N-1} h(n) \left(z^{-n}+z^{-(N-1)} z^{n}\right)\\
&=\frac{1}{2}z^{-\frac{N-1}{2}}\sum_{n=0}^{N-1} h(n)\left(z^{\frac{N-1}{2}-n}+z^{-\left(\frac{N-1}{2}-n\right)}\right)
\end{aligned}
$$
代入 $z=e^{j\omega}$.
$$
H(e^{j\omega})= e^{\underbrace{-\frac{N-1}{2}\omega}_{\theta(\omega)}j} \underbrace{\sum_{n=0}^{N-1} h(n) \cos \left(\left(\frac{N-1}{2}-n\right)\omega\right)}_{H(\omega)}
$$
因此相位函数 $\theta(\omega)$ 是 $\omega$ 的线性函数，$\displaystyle \tau(\omega)=-\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d \omega}=\boxed{\frac{N-1}{2}}$.
**奇对称线性相位证明**
代入 $h(n)=-h(N-1-n),0\le n\le N-1$ 的条件，可得
$$
H(e^{j\omega})=je^{-j\frac{N-1}{2}\omega}\underbrace{\sum_{n=0}^{N-1} h(n) \sin \left(\left(\frac{N-1}{2}-n\right)\omega\right)}_{H(\omega)}
$$
$$
\theta(\omega)=\frac{\pi}{2}-\frac{N-1}{2}\omega
$$
相位函数 $\theta(\omega)$ 是 $\omega$ 的线性函数，$\displaystyle \tau(\omega)=-\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d \omega}=\boxed{\frac{N-1}{2}}$.
**另一种简单的证明方式**
$$
H(z)=z^{-\frac{N-1}{2}}\sum_{n=0}^{(N-1)/2} h(n)\left(z^{\frac{N-1}{2}-n}\pm z^{-\left(\frac{N-1}{2}-n\right)}\right)
$$
- 当偶对称，$\left(z^{\frac{N-1}{2}-n}\pm z^{-\left(\frac{N-1}{2}-n\right)}\right)$ 为实数；相位为 $\theta(\omega)=-\frac{N-1}{2} \omega$.
- 当奇对称，$\left(z^{\frac{N-1}{2}-n}\pm z^{-\left(\frac{N-1}{2}-n\right)}\right)$ 为纯虚数；相位为 $\theta(\omega)=\frac{\pi}{2}-\frac{N-1}{2}\omega$.
**零点的分布** 对于线性相位 FIR 滤波器，
因为 FIR 滤波器系统函数的系数为实数，所以 $z$ 零点推出 $z^*$ 也是零点，也就是。
$$
H(z)=\sum_{n=0}^{N-1} h(n)z^{-n}=0\\
H(z^*)=\sum_{n=0}^{N-1} h(n)(z^*)^{-n}=(H(z))^*=0
$$
因为线性相位的性质，
$$
\begin{aligned}
H(z^{-1})&=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{n}\\
&=\pm\sum_{n=0}^{N-1}h(N-1-n)z^n\\
&=\pm z^{(N-1)}\sum_{n=0}^{N-1} h(N-1-n) z^{-(N-1-n)}\\
&=\pm z^{N-1}H(z)=0
\end{aligned}
$$
因此 $z$ 零点推出 $z^{-1}$ 也是零点。
**可否设计低通、高通、带通、带阻** 只需考虑 $z=1,z=-1=e^{j\pi}$ 是否一定是滤波器零点。我们考虑配对：
$$
(z^{n}\pm z^{N-1-n})h(n)=z^n (1\pm z^{N-1-2n})h(n)
$$
- $N$ 为奇数、偶对称. $1+z^{N-1-2n}=0$，由于 $N-1-2n$ 为偶数，$z=1,z=-1$ 不一定是零点，因此可以设计四种滤波器；
- $N$ 为偶数、偶对称. $1+z^{N-1-2n}=0$，由于 $N-1-2n$ 为奇数，$z=-1$ 一定是零点，因此只能设计低通、带通滤波器；
- $N$ 为奇数、奇对称. $1-z^{N-1-2n}=0$，由于 $N-1-2n$ 为偶数，$z=1,z=-1$ 一定是零点，因此只能设计带通滤波器；
- $N$ 为偶数、奇对称. $1-z^{N-1-2n}=0$，由于 $N-1-2n$ 为奇数，$z=1$ 一定是零点，因此只能设计高通、带通滤波器；
总结：只需分析 $z=\pm 1$ 是否一定是方程 $1\pm z^{N-1-2n}=0$ 的零点，不需死记。
### 3.2 窗函数法 FIR 滤波器设计
1. 给定要求的理想频率响应 $H_d(e^{j\omega})$ (desired)，一般是低通、高通、带通、带阻。
2. 我们利用 IDTFT 求得理想滤波器的系数 $h_d(n)$
$$
h_d(n)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_d(e^{j\omega}) e^{j\omega n}\mathrm d \omega
$$
一般取 $N$ 为奇数，令 $\tau=(N-1)/2$，对于低通滤波器，
$$
\begin{aligned}
h_d^{lp}(n)
&=\begin{cases}
\frac{\sin(\omega_c(n-\tau))}{\pi(n-\tau)},&n\not=\tau\\
\omega_c/\pi,&n=\tau
\end{cases}\\
\end{aligned}
$$
当 $\omega_c=\pi$ 时，低通滤波器变为全通滤波器：
$$
h_{d}^{ap}(n)=\begin{cases}
1,&n=\tau\\
0,&n\not=\tau
\end{cases}
$$
因此，高通滤波器直接利用线性性做减法可得：
$$
h_d^{hp}(n)=\begin{cases}
-\frac{\sin(\omega_c(n-\tau))}{\pi(n-\tau)},&n\not=\tau\\
1-\omega_c/\pi,&n=\tau
\end{cases}
$$
带通滤波器利用两个低通做减法：
$$
h_d^{bp}(n)=
\begin{cases}
\frac{\sin[\omega_2(n-\tau)]-\sin[\omega_1(n-\tau)]}{\pi(n-\tau)},&n\not=\tau\\
(\omega_2-\omega_1)/\pi,&n=\tau
\end{cases}
$$
带阻利用全通减带通：
$$
h_d^{bs}(n)=
\begin{cases}
-\frac{\sin[\omega_2(n-\tau)]-\sin[\omega_1(n-\tau)]}{\pi(n-\tau)},&n\not=\tau\\
1-(\omega_2-\omega_1)/\pi ,&n=\tau
\end{cases}
$$
3. 因为 $h_d$ 是无限时长的，所以需要用有限时长的窗函数 $w(n)$ 截断，也就是：
$$
h(n)=h_d(n)\cdot w(n)
$$
并且 $h(n)$ 在 $0\le n\le N-1$ 之外的范围都为零。
4. 求出加窗后的实际频率响应 $H(e^{j\omega})$.
$$
\begin{aligned}
H(e^{j\omega})=&\frac{1}{2\pi} [H_d(e^{j\omega})* W(e^{j\omega})]\\
H(f)=&H_d(f)*W(f)
\end{aligned}
$$
因为是卷积关系，所以产生的肩峰过渡带宽度 $\Delta \omega$ 取决于 $W(e^{j\omega})$ 宽度。肩峰过渡带的中心为对应理想滤波器的边界。
> 综上，设计 **FIR 滤波器** 步骤为：
>
> 1. 给定设计指标 $\omega_p,\omega_{st},R_p,A_s$.
>
> 计算中心频率：
> $$
> \omega_c=(\omega_p+\omega_{st})/2\\
> \omega_{1}=(\omega_{p1}+\omega_{st1})/2\\
> \omega_{2}=(\omega_{p2}+\omega_{st2})/2
> $$
>
> 2. 选择窗类型和长度点数 $N$.
>
> 1. 窗类型由阻带最小衰减 $A_s$ 决定；
> 2. 窗长度点数由过渡带宽 $\Delta \omega$ 决定。
> - 对于低通高通，$\Delta\omega=|\omega_{st}-\omega_p|$.
> - 对于带通带阻，$\Delta \omega=\min\{|\omega_{st1}-\omega_{p1}|,|\omega_{st2}-\omega_{p2}|\}$.
>
> 决定窗函数 $w(n)$.
>
> 3. 求取 $h(n)=h_d(n)\cdot w(n)$.
>
> 4. 检验 $H(e^{j\omega})$ 是否满足性能要求
### 3.3 频率抽样 FIR 滤波器设计
频率抽样设计思路：
- 根据希望逼近的频率响应确定实际滤波器频率响应的抽样值.
$$
H(k)=H_d(k)=H_d(e^{j\omega})|_{\omega =\frac{2\pi}{N}k},\quad k=0,1,2,\cdots,N-1
$$
- 通过抽样点重构有限长序列。
$$
h(n)=\operatorname{IDFT}\{H(k)\}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}H(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}
$$
- 求取频率响应，检验是否满足指标。
如图，理想频率响应 $H_d(e^{j\omega})$ 和实际频率响应 $H(e^{j\omega})$ 之间存在 逼近误差，因为实际频率响应还要经过 $\Phi(\omega)$ 函数的插值。但是在抽样点上频率响应是相等的关系。
- 增加频率抽样点数 $N$ 不能使得断点两侧过冲减小（仅增大 $N$ 不能有效降低肩峰相对值），因为 Gibbs 效应的存在。
- 但是增加 $N$ 可以使得阻带衰减减小，因为抽样点更密集，阻带的最大幅值响应减小。
- 设置过渡带，合理选择过渡带长度和过渡带抽样值，可以减少逼近误差，可以利用经验数据选择过渡带抽样点数 $m$ 和使用累试法确定抽样值。
设过渡带长度为 $\Delta \omega$，滤波器抽样点数 $N$ 需要满足
$$
\Delta \omega \ge \frac{2\pi}{N}(m+1)\\
\Rightarrow N\ge (m+1)\frac{2\pi}{\Delta \omega}
$$
## 4. 滤波器比较
- 阶数 方面，一般 IIR 阶数少，复杂度较小；
- 线性相位 方面，当 $h(n)$ 为实数且满足偶对称性或者奇对称性时，FIR 滤波器具有线性相位；
- 稳定性 方面，FIR 因为脉冲响应有限，所以具有天然的稳定性，IIR 极点需要处于单位圆内才稳定；
- 应用面，FIR 比较灵活.
## 5. 滤波器题目
关于 IIR 滤波器设计正确的说法是：
- [ ] 连续时间滤波器不能用来设计高通滤波器；
- [ ] 脉冲响应不变法不能用来设计带通滤波器；
- [ ] 双线性变换法不能用来设计低通滤波器；
- [x] 双线性变换法不能将连续时间微分器转换成离散时间微分。
双线性变换法在低频区域是有对应关系的，但是高频区域有频率的非线性。
-------
关于 IIR 滤波器设计正确的说法是
- [x] 双线性变换法将连续时间滤波器的极点 $s_k$ 映射称离散时间滤波器的极点 $\displaystyle \frac{2+T_d s_k}{2-T_d s_k}$；
考虑解方程
$$
s_k=\frac{2}{T_d} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}
$$
$$
z=\frac{2+T_d s_k}{2-T_d s_k}
$$
- [ ] 最小相位连续时间系统经过脉冲响应不变法一定得到最小相位离散时间系统；
最小相位系统的零点极点都在 $s$ 平面左侧，但是经过脉冲响应不变法，极点位于单位圆内，但是零点不一定位于单位圆内。
- [ ] 连续时间全通系统经过双线性变换法得到的不是离散时间全通系统；
可以观察零点和极点的对应关系：首先，系统稳定，意味着极点全为 $s_k=a_k+b_k j$，$a_k<0$.
根据连续时间全通系统的零极点关于虚轴对称，可得零点为 $s_k=-a_k+b_k j$.
经过双线性变换，极点
$$
z_k=\frac{2+T_d (a_k+b_k j)}{2-T_d(a_k+b_k j)}
$$
全部位于单位圆内，且零点和极点关于单位圆对称：
$$
z_k=\frac{2+T_d (-a_k+b_k j)}{2-T_d(-a_k+b_k j)}=\left(\frac{2+T_d (a_k-b_k j)}{2-T_d(a_k-b_k j)}\right)^{-1}
$$
满足全通滤波器的性质。
- [ ] 脉冲响应不变法将连续时间滤波器的零点 $s_k$ 映射成离散时间滤波器的零点 $e^{s_k T_d}$.
只有极点按左半平面到单位圆内的方式映射。
双线性变换法的另一种推导：
$$
z=e^{sT}=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}\approx \frac{1+sT/2}{1-sT/2}=\frac{2+Ts}{2-Ts}
$$
$$
s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}
$$
-------
关于双线性变换法设计 IIR 滤波器错误的说法是
- [x] 如果原型连续时间滤波器是常数群延迟，则离散时间滤波器也具有常数群延迟。
错误，双线性变换法频率不是线性的。
- [ ] 能保证离散时间滤波器和原型连续时间滤波器的频率响应满足 $\displaystyle H(e^{j\omega})|_{\omega=0}=H_c(j\Omega)|_{\Omega=0}$.
- [ ] 如果三个原型连续时间系统满足 $H_c(s)=H_{c1}(s)H_{c2}(s)$，则分别对它们变换得到的离散时间系统满足 $H(z)=H_1(z)H_2(z)$.
- [ ] 如果三个原型连续时间系统满足 $H_c(s)=H_{c1}(s)+H_{c2}(s)$，则分别对它们变换得到的离散时间系统满足 $H(z)=H_1(z)+H_2(z)$.
----------
其中的离散时间系统是一个采用双线性变换法设计得到的截止频率为 $0.3\pi$ 弧度的低通滤波器，则整个等效的连续时间系统的截止频率是（$0.3\pi /T$）
解：离散时间系统与等效连续时间系统的频响关系始终线性，与离散时间系统是IIR 还是FIR，以及什么方法设计的没有关系。
------
关于窗函数法设计 FIR 滤波器，错误的说法是
- [ ] 增加窗长可以减小过渡带宽；
- [x] 增加窗长可以增加阻带衰减；
- [ ] 改变窗形状可以改变阻带衰减；
- [ ] 改变窗形状可以改变过渡带宽。
-----
关于离散时间滤波器的设计，正确的说法是
- 脉冲响应不变法不能设计高通 IIR 滤波器是因为系统函数在 $z=-1$ 处有零点； （不是这个原因，而是高频产生混叠）
- 不能采用 II 类广义线性相位FIR滤波器设计高通滤波器是因为频率响应有混叠； （也不是这个原因，因为在 $z=-1$ 有零点）
- **相同技术指标下，采用 IIR滤波器可用比 FIR滤波器阶数更低；**
- 只要设计方法得当，FIR和 IIR 滤波器都能得到真正的广义线性相位。 （对于IIR滤波器，由于其无限冲激响应的特性，很难实现真正意义上的广义线性相位。即使在某些设计中，IIR滤波器的相位响应可能在通带内近似线性，但这并不是广义线性相位的典型特征。)
------
IIR 滤波器的直接II 型实现结构与直接 I 型实现结构比较优势是
- [ ] 乘法次数较少
- [ ] 加法次数较少
- [x] 延迟较少
- [ ] 易于调整零点和极点